Matematika. Výpočty

Mocniny

Umocňování je matematická operace, která vyjadřuje opakované násobení.

an – mocnina
a – základ
n – exponent

Výpočet:

a  = 
n  = 

Výsledek:

1

am · an=am+n

Výpočet:

a  = 
m  = 
n  = 

Výsledek:

2

am:an=am–n

Výpočet:

a  = 
m  = 
n  = 

Výsledek:

3

(am)n=am · n

Výpočet:

a  = 
m  = 
n  = 

Výsledek:

4

an · bn=(a · b)n

Výpočet:

a  = 
b  = 
n  = 

Výsledek:

5

an  =   a  n
bn b  

Výpočet:

a  = 
b  = 
n  = 

Výsledek:

6

a0=1,
pokud a≠0.

Výpočet:

a  = 

Výsledek:

7

a-n =   1
an

Výpočet:

a  = 
n  = 

Výsledek:

8

  a   -n =   b   n
b   a  

Výpočet:

a  = 
b  = 
n  = 

Výsledek:

9

0n=0,
pokud n > 0.

Výpočet:

n  = 

Výsledek:

10

mocniny

Výpočet:

a  = 
m  = 
n  = 

Výsledek:

Odmocniny

Odmocnina na, kde a ≥ 0 a n je přirozené číslo, je nezáporné číslo q, pro něž platí qn = a

Výpočet:

a  = 
n  = 

Výsledek:

1

odmocniny \sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}

Výpočet:

a  = 
b  = 
n  = 

Výsledek:

2

odmocniny

pokud b≠0

Výpočet:

a  = 
b  = 
n  = 

Výsledek:

3

odmocniny

Výpočet:

a  = 

Výsledek:

4

odmocniny

Výpočet:

a  = 
n  = 

Výsledek:

5

odmocniny

Výpočet:

a  = 
m  = 
n  = 

Výsledek:

6

odmocniny

Výpočet:

a  = 
m  = 
n  = 

Výsledek:

7

odmocniny

Výpočet:

n  = 

Výsledek:

8

odmocniny

Výpočet:

n  = 

Výsledek:

9

odmocniny

Výpočet:

a  = 
n  = 

Výsledek:

10

odmocniny

Výpočet:

a  = 
b  = 
n  = 
m  = 

Výsledek:

11

odmocniny

Výpočet:

a  = 
b  = 
n  = 
m  = 

Výsledek:

12

odmocniny \frac{1}{\sqrt[n]{a}}=\frac{\sqrt[n]{a^{n-1}}}{a}

Výpočet:

a  = 
n  = 

Výsledek:

13

odmocniny \left(\sqrt[n]{a} \right)^{m}=\sqrt[n]{a^{m}}

Výpočet:

a  = 
n  = 
m  = 

Výsledek:

14

odmocniny \left(\sqrt[n]{a^{m}} \right)^{p}=\sqrt[n]{a^{mp}}

Výpočet:

a  = 
n  = 
m  = 
p  = 

Výsledek:

15

odmocniny \sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^{2}-b}}{2}}\pm\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^{2}-b}}{2}}

Výpočet:

a  = 
b  = 

Výsledek:

16

odmocniny \sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^{2}-b}}{2}}\pm\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^{2}-b}}{2}}

(b≥0, a≥b)

Výpočet:

a  = 
b  = 

Výsledek:

17

odmocniny \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}

(a≠b)

Výpočet:

a  = 
b  = 

Výsledek:

18

odmocniny \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}

(a≠b)

Výpočet:

a  = 
b  = 

Výsledek:

Mnohočleny

Mnohočlen je speciální druh výrazu, který obsahuje konstanty a jednu nebo více proměnných s přirozenou mocninou (exponentem). Rozkladem mnohočlenu rozumíme vyjádření daného mnohočlenu jako součinu jednodušších, většinou již dále nerozložitelných, mnohočlenů.

1

a2–b2=(a+b)(a−b)

Výpočet:

a  = 
b  = 

Výsledek:

2

(a+b)2=a2+2ab+b2

Výpočet:

a  = 
b  = 

Výsledek:

3

(a-b)2=a2-2ab+b2

Výpočet:

a  = 
b  = 

Výsledek:

4

(а+b+с)22+b22+2аb+2ас+2bс

Výpočet:

a  = 
b  = 
c  = 

Výsledek:

5

a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)

Výpočet:

a  = 
b  = 

Výsledek:

6

a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

Výpočet:

a  = 
b  = 

Výsledek:

7

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

Výpočet:

a  = 
b  = 

Výsledek:

8

(a–b)3=a3–3a2b+3ab2–b3

Výpočet:

a  = 
b  = 

Výsledek:

9

(a+b+c)3=a3+b3 + c3 + 3a2b+3a2c+ 3ab2+3ac2+3b2c+3bc2+6abc

Výpočet:

a  = 
b  = 
c  = 

Výsledek:

10

(а+b)44+4а3b+ 6а2b2+4аb3+b4

Výpočet:

a  = 
b  = 

Výsledek:

11

(а–b)44–4а3b+6а2b2–4аb3+b4

Výpočet:

a  = 
b  = 

Výsledek:

12

a4–b4=(а–b)(a+b)(a2+b2)

Výpočet:

a  = 
b  = 

Výsledek:

13

an-bn=(a–b)(an-1+an-2b+an-3b2+...+a2bn-3+abn-2+bn-l)

Výpočet:

a  = 
b  = 
n  = 

Výsledek:

14

a2n-b2n=(an+bn)(an-bn)

Výpočet:

a  = 
b  = 
n  = 

Výsledek:

Logaritmy

logab – logaritmus b při základu a
a – základ logaritmu
b – logaritmované číslo (argument či numerus)

Výpočet:

a  = 
b  = 

Výsledek:

1

Pokud logab=c
b=ac

Výpočet:

a  = 
c  = 

Výsledek:

2

Pro logab    a>0
a≠1
b>0

3

logab+logac=logab · c

Výpočet:

a  = 
b  = 
c  = 

Výsledek:

4

logab–logac = loga b
c

Výpočet:

a  = 
b  = 
c  = 

Výsledek:

5

alogab=b

Výpočet:

a  = 
b  = 

Výsledek:

6

logabm=m · logab

Výpočet:

a  = 
b  = 
m  = 

Výsledek:

7

loganb =  1  · logab
n

Výpočet:

a  = 
b  = 
n  = 

Výsledek:

8

logab =  1
logba

Výpočet:

a  = 
b  = 

Výsledek:

9

logab =  logcb
logca

Výpočet:

a  = 
b  = 

Výsledek:

10

loga(b·c)=logab+logac

Výpočet:

a  = 
b  = 
c  = 

Výsledek:

11

loga  b  = logab–logac
c

Výpočet:

a  = 
b  = 
c  = 

Výsledek:

12

logab · logdc=logdb · logac

Výpočet:

a  = 
b  = 
c  = 
d  = 

Výsledek:

13

clogab = blogac

Výpočet:

a  = 
b  = 
c  = 

Výsledek:

14

logaqbp =  p  logab
q

Výpočet:

a  = 
b  = 
p  = 
q  = 

Výsledek:

Derivace

1

C′ = 0

2

x′ = 1

3

(Cx)′ = C

4

(xn)′ = n · xn-1

5

odmocniny

6

(U · V)′ = U′V+UV′

7

  U ′   =   U′V–UV′
V V2

8

(U(V))′ = (U(V))′ · V′

9

(sin x)′ = cos x

10

(cos x)′ = –sin x

11

(tg x)′ =   1
cos2x

12

(ctg x)′ =     1
  sin2x

13

(ex)′ = ex

14

(ax)′ = ax · ln a

15

(ln x)′ =  1
x

16

(logab)′ =  1
b · ln a











„Proti hluposti se bojovat musí, ale vyhrát se nedá!“ Jan Werich